구의 겉넓이와 부피

구의 겉넓이와 부피를 구하는 방법과 공식을 알려드릴게요.

 

먼저 구란 원기둥처럼 생긴 입체도형입니다. 그래서 반지름반지름원주율(π)=구하고자 하는 도형의 넓이 라는 공식이 성립됩니다. 이 공식을 이용해서 구의 겉넓이를 구해보면 다음과 같습니다. 공식: (원주의 길이)4+(지름의 길이)6 = 4파이r제곱 + 6파이r세제곱 부피 역시 같은 방식으로 구할 수 있습니다. 하지만 위 식에서는 원주율 π 대신 2ᅲr이라는 값을 대입해야 합니다. 왜냐하면 지름 r인 반구로 이루어진 구가 있다고 가정했을 때, 이것의 부피는 밑면의 넓이 * 높이 이기 때문입니다. 따라서 식을 정리하면 다음과 같습니다.

공식: (밑면의 넓이)높이 = ᅲr^2h 이렇게 구한 두 가지 공식을 활용하면 우리 주변에서 쉽게 접할 수 있는 다양한 모양의 구의 겉넓이와 부피를 구할 수 있습니다.

 

예를 들어 축구공의 겉넓이는 어떻게 될까요? 우선 공의 겉면을 이루는 조각들을 모두 잘라낸 후 각각의 단면을 살펴보면 총 8개의 면으로 이루어져 있음을 알 수 있습니다. 이때 각 면의 넓이는 동일하므로 한 개의 큰 정사각형 안에 들어가는 작은 정사각형의 개수만큼 곱해주면 됩니다. 즉, 정육면체의 전개도를 펼친다고 생각하면 이해하기 쉽습니다. 또한 농구공의 경우 12개의 삼각형으로 이루어져 있으므로 마찬가지로 사각형의 개수만큼 곱해주면 됩니다. 마지막으로 야구공의 경우 16개의 정오각형으로 이루어져 있으므로 육각형의 개수만큼 곱해주면 됩니다.

 

원기둥의 부피 구하는 공식과 원뿔의 부피 구하는 공식 아시나요?

 

우선 원기둥의 부피공식은 밑면의 넓이높이입니다. 그리고 원뿔의 부피공식은 1/3밑면의 넓이*높이 입니다. 그렇다면 왜 이렇게 되는지 궁금하시겠죠? 제가 설명해드리겠습니다. 우선 원기둥의 부피공식인 밑면의 넓이높이는 말 그대로 원기둥의 옆면의 넓이+아랫면의 넓이(바닥)=원기둥의 부피 가 됩니다. 그러면 원기둥의 옆면의 넓이는 어떻게 구할까요? 우리가 아는 직사각형 모양의 도형에서는 가로세로 라고 쉽게 구할 수 있지만 원기둥같은 경우엔 옆쪽 면이 곡선이기 때문에 직접 길이를 재야하는데요, 그래서 수학자들이 연구 끝에 알아낸 공식이 위 사진처럼 한 변의 길이다른 한 변의 길이원주율 을 이용해서 구합니다. 원주율은 파이 아시죠? 그렇게 해서 나온 값이 (지름)(원주율)(높이) =옆면의 넓이 라는 공식이 나오게 된겁니다. 그렇다면 원뿔의 부피공식인 1/3밑면의 넓이높이는 어떻게 나왔을까요? 이것도 역시나 마찬가지로 원뿔의 옆면의 넓이 +윗면의 넓이(뚜껑)=원뿔의 부피라는 공식이 나옵니다. 윗면의 넓이는 아까 말씀드린것처럼 삼각형모양의 도형이므로 높이밑변1/2 이라는 공식이 나오는데요, 이걸 반으로 나누면 윗변의 길이높이1/2이라는 공식이 나오고 이를 정리하면 (높이)(밑변)(1/2)=윗면의 넓이 라는 공식이 나오게됩니다.